Buongiorno, sospendiamo la rubrica settimanale di laboratorio povero per dedicare due articoli alla Matematica, in particolare vi espongo un percorso didattico critico sulle equazioni di primo grado. Tale percorso è proponibile sia in terza media che in una prima superiore. 

Esiste un modo diverso di proporre le equazioni di primo grado, oltre alla solita introduzione algebrica? E' da preferire un metodo iconico o mostrare le equivalenze con la bilancia? e quanto può aiutarci l'informatica?

Perchè proporre certi esercizi/problemi piuttosto che altri? A queste ed altre domande cercherò di dare una risposta!

Per qualsiasi dubbio, per proporre dei propri percorsi o testare i miei scrivetemi ad Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. È necessario abilitare JavaScript per vederlo.

Il lavoro presente è stato presentato da me e dai colleghi Giovanni de Paoli e Massimo de Napoli per una tesina di didattica della matematica relativo al primo ciclo TFA A059, Università di Padova.

Le equazioni di 1° grado  (una riflessione critica)

di Alfonso D’Ambrosio, Giovanni De Paoli, Massimo De Napoli

“La signora Markus sogghignava, dicendo che un’espulsione di una settimana era davvero una pena mite per un elemento come me, così svogliato e inconcludente…,e che ad ogni modo bisognava rassegnarsi al fatto che avevo bisogno di una struttura scolastica diversa, più consona ai miei limiti. Potete star sicuri che Gabi non gliela faceva passare liscia: «Quelli che secondo lei sono limiti, secondo me sono punti di forza! », e si piazzava davanti all’insegnante, gonfia come un cobra cui abbiano insidiato la prole. «Si possono anche definire, giusto per fare un esempio, un’anima da artista! Sì! Forse non tutti sono adatti all’inquadramento della scuola! Ci sono persone rotonde, mia cara signora, ci sono bambini a forma, diciamo, di triangolo, perché no, e ci sono… », Gabi abbassava la voce, levava una mano per aria…e sussurrava con una voce da rabbrividire: «Ci sono bambini a zigzag».” (Grossman, 1996, pag. 100)

La nostra scelta di centrare il nostro lavoro di laboratorio di Matematica sulle equazioni di primo grado non è un caso. L’argomento verrà affrontato e sviluppato a pieno nel primo anno delle superiori, perdendo spesso la base pratica di partenza (basti pensare alle equazioni di primo grado letterali); le equazioni, più in generale, sono uno dei punti principali della didattica delle scuole superiori e della scuola secondaria di I grado (terzo anno).

Molti sono i modi per introdurre le equazioni di primo grado e ci sono vari esempi in letteratura.

Noi partiamo da questa domanda: ai ragazzi di terza media serve davvero conoscere le tecniche di risoluzione di una equazione di primo grado? Più in generale possono risolvere i problemi di terza media senza introdurre le equazioni?

Ci sembra pertinente il pensiero di Bertrand Russel: “Quando si arriva all’algebra e si deve operare con x e y,c’è il desiderio naturale di saper cosa sono realmente x e y. Questo, almeno, era il mio sentimento: io ho sempre pensato che l’insegnante sapesse che cosa erano x e y, ma che lei non me l’avrebbe mai detto”

Fondamentalmente i ragazzi sono abituati, prima delle equazioni, ad operare con numeri, risolvono problemi di geometria con dei numeri. Certo conoscono il linguaggio astratto, sanno che il perimetro di un poligono è la somma dei lati, ma i lati diventano dei numeri nei loro problemi.

Perché allora utilizzare le lettere (questa fantomatica x, l’aritmos di Diofanto)?

Il rischio è di creare un frattura, un distacco irreversibile nei confronti della matematica, in particolare dell’algebra.

Da più parti si sottolinea la necessità di dare vita a quello che Arzarello chiama “gioco di interpretazioni”.  Innanzitutto andrebbe favorita la creazione di contesti di interazione e collaborazione in cui i ragazzi si sentano liberi di negoziare per costruire significati socialmente condivisi, allacciando un legame tra esperienza interna del soggetto e cultura ufficiale. 

L’utilizzo di diversi linguaggi andrebbe favorito: non solo un linguaggio simbolico, ma anche naturale, tra pari, un linguaggio iconico, un linguaggio favorito dalle TIC.

Nella pratica partiremo dalle motivazioni storiche .

La storia della matematica è anche la storia del pensiero umano: perché si sono introdotte le equazioni, per risolvere quali problemi. Verranno descritti dei problemi reali, non solo di tipo geometrico. Successivamente verrà proposta una attività di costruzione di modelli risolutivi per classi di problemi, in cui lo scopo non siacercare soltanto un risultato numerico specifico. Chevallard sottolinea per

esempio che in questo modo i legami tra messa in formula, funzione edequazione, spesso trascurati negli insegnamenti tradizionali, verrebbero finalmente saldati.

Anche la mediazione di un software può esserci di aiuto: l’uso di tavole numeriche sollecita infatti le anticipazioni.

Le equazioni vengono presentate in maniera astratta: e se venissero trattate dopo le funzioni, magari dopo aver spiegato o accennato alle rette?

Modulo: le equazioni di primo grado

Classe: III media

Prerequisiti: proporzioni, geometria piana, la cinematica, le funzioni, la proporzionalità diretta ed inversa, polinomi e prodotti notevoli

Conoscenze:

• riconoscere equazioni di primo grado;
• conoscere la formula risolutiva di una equazione di 1 grado ;

Competenze:

• risolvere equazioni di primo grado;
• riconoscere se un’equazione ammette soluzioni;
• verificare la correttezza delle soluzioni;
• individuare i legami che sussistono tra soluzioni e coefficienti dell’equazione.

Capacità:

• utilizzare equazioni di primo grado per risolvere problemi;
• utilizzare un linguaggio matematico appropriato

1 giornata: storia delle equazioni

Per introdurre le equazioni di primo grado viene presentato ai ragazzi il seguente problema: un elefante pesa una tonnellata più mezzo elefante. Quanto pesa un elefante?

Non vengono introdotte le equazioni di primo grado e si lascia lavorare i ragazzi in gruppo, per massimo 20 minuti, dove possono utilizzare tutte le tecniche possibili per la risoluzione del problema.

Con questa attività ci si propone di:

• facilitare l’interiorizzazione e la condensazione dei nuovi concetti
• creare un ambiente di apprendimento in cui si realizzi:

- una costruzione collaborativa del sapere, attraverso la negoziazione, l’assistenza

reciproca e la condivisione sociale;

- disponibilità all’ascolto;

- responsabilità individuale nello svolgere il proprio ruolo;

- responsabilità collettiva;

- pianificazione delle procedure necessarie per comprendere e risolvere il

compito;

- selezione delle informazioni rilevanti per l’elaborazione della relazione sul

proprio lavoro.

Storia delle equazioni

Il papiro Rhind (focus su metodo falsa posizione)

I babilonesi

I cinesi

I greci (focus sul problema di Diofanto)

Ecco un estratto dell’articolo di Maracchia:

Problema di Diofanto (che uno di noi propone ogni anno ai propri alunni):

«Ecco la tomba che racchiude Diofanto: una meraviglia da contemplare! Con artificio aritmetico la pietra insegna la sua età: Dio gli concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua vita, dopo un altro dodicesimo le sue guance germogliarono; dopo un settimo egli riaccese la fiaccola del matrimonio: e dopo cinque anni gli nacque un figlio. Ma questi, giovane disgraziato e pur tanto amato, aveva appena raggiunto la metà dell’età cui doveva arrivare suo padre, quando mori. Quattro anni ancora, mitigando il proprio dolore con l’occuparsi con la scienza dei numeri22, attese Diofanto prima di raggiungere il termine della sua esistenza.»

I ragazzi solitamente ricorrono a soluzioni di altro tipo (metodi intuitivi) e solo una piccola parte fa uso delle equazioni. Queste esperienze evidenziano che alcuni studenti ritengono che le equazioni si collochino in un ambito disgiunto da quello delle risoluzioni con metodi elementari. Successivamente si propongono problemi in cui vi è l’esigenza di impostare un’equazione, in questo modo le strategie “intuitive” dei ragazzi vengono messe in crisi.

A questo punto obiettivo dell’insegnante sarà fare acquisire la definizione di equazione, i metodi di risoluzione e la consapevolezza di ogni passaggio.

Lo scopo di questa prima lezione è la nascita dell’incognita x, la necessità da parte dei ragazzi di generalizzare il concetto di incognita.

Lezione 2 perché le equazioni?

Dopo aver presentato la storia delle equazioni, si fa capire ai ragazzi che le equazioni erano sì un gioco puramente matematico, ma diventavano necessarie delle tecniche generali per risolvere problemi inerenti alla geometria, quindi all’agricoltura e agli scambi commerciali.

L’incognita, a cui si è deciso di dare il nome di x, è pertanto legata a dei valori numerici da una relazione di equivalenza.

Viene introdotto il concetto di uguaglianza, soffermandosi sul concetto dell’uguale tra i due membri. Uguale come equivalenza appunto

1. Equazione è una relazione di uguaglianza che traduce algebricamente un

problema.

2. Equazione è una relazione di uguaglianza contenente una lettera che rappresenta

un elemento variabile in un certo insieme.

3. Equazione è un’uguaglianza letterale tra due espressioni algebriche verificata da

particolari valori delle variabili (dette incognite).

4. Equazione è un’uguaglianza tra due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite sullo

stesso insieme.

Insomma le equazioni non servono solo a risolvere problemi reali, ma possono essere parte di un concetto più astratto.

In questa seconda giornata i ragazzi vanno in aula di informatica.

I ragazzi sanno già usare il pc e viene chiesto loro di rappresentare in excel i due grafici di proporzionalità diretta

Y=ax+b            e y=cx+d

La nostra intenzione è quella di mostrare che la risoluzione di una equazione altro non è se non una intersezione tra due rette.

Il metodo per calcolare la soluzione può essere sia ottenuto con un pc che a mano con un foglio di carta, per approssimazioni successive.

Così per risolvere l’equazione 7x + 3 = 5x + 4 significa trovare il

valore di x per cui le funzioni f(x) = 7x + 3 e g(x) = 5x + 4 hanno lo stesso valore.