Buongiorno, continuiamo con il presentarvi l'attività laboratoriale di matematica sulle funzioni goniometriche. L'attività vuole rispondere a domande quali: come misurare l'altezza di una torre o di un palazzo senza poter salire sulla sua sommità? come misurare la distanza tra due punti non direttamente raggiungibili?

La trigonometria affascina gli studenti, ma viene spesso presentata secondo un approccio molto teorico. I ragazzi non sempre colgono la potenza delle funzioni goniometriche nella risoluzione di problemi geometrici. E' per questo che tale attività viene presentata subito, fin dalla prima lezione sull'argomento. Non vengono presentati i concetti di radiante, seno coseno etc. ma vengono costruiti i concetti partendo dagli esperimenti.

Nella prima parte dell'articolo abbiamo affascinato ed incuriosito (si spera) gli studenti presentando un problema reale (la misura dell'altezza della torre). Ragazzi hanno effettuato delle misure e giunto alla conclusione che preso un segmento di lunghezza arbitraria in un sistema di riferimento ortogonale con un estremo nell'origine, il rapporto tra la sua proiezione (su x o su y) e la lunghezza del segmento stesso è INVARIANTE rispetto alla lunghezza del segmento stesso e dipende solo dall'angolo. I ragazzi hanno ottenuto anche il grafico di tale andamento e misurato tale rapporto per alcuni angoli.

Viene fornita la scheda S2 reperibile anche sul mio forum qui.

Sottolineo che il lavoro qui proposto è assolutamente sperimentale, di ricerca didattica e quindi sempre migliorabile.

Durata 1 ora circa

SCHEDA S2 Laboratorio goniometria

COGNOME E NOME

Suddividi il quadrante in tanti angolo di ampiezza 10 gradi e considera anche gli angoli di 100, 110 etc.

Seguendo lo stesso schema della scheda precedente, costruisci la seguente tabella (attenzione ai segni!!!)

In che relazione sono gli angoli di 10 e 70 gradi?

Prova a scrivere la relazione matematica che lega BC e AC in relazione agli angoli

Completa su un foglio dati tutti gli angoli da 100 a 180 con passo di 10 gradi

Completa su un foglio dati tutti gli angoli da 0 a 360 con passo di 10 gradi. Quali relazioni trovi?

Commento sulla scheda S1

Con questa attività si vuole giungere all'idea che il seno e il coseno di due angoli uno complementare dell'altro sono uuguali ma "scambiati" , che il seno ed il coseno di angoli supplementari sono uguali. Si fa riflettere che il rapporto (non parlo ancora di seno e coseno) ha un nsuo segno!

Fase di formalizzazione

durata 2 ore circa

E' la fase in cui vengono formalizzati i concetti di seno e coseno, la loro definizione diventà più "naturale" per gli studenti dopo tale attività. Ai ragazzi è stato fornito un metodo operativo per la loro misura (è per questo che nella verifica andrò a chiedere quanto vale il seno o il coseno di 70 gradi, 40 etc.senza utilizzare la calcolatrice).

Viene introdotta la tangente e si scrivono (anzi si costruiscono a partire dalla tabella delle schede S1 ed S2) le relazioni su archi associati, complementari e supplementari.

Vengono anche definite le relazioni tra cateti e ipotenuta nei triangoli rettangoli (definizione che viene naturalmente, anzi sono gli stessi ragazzi a introdurla).

Ricordiamo che il problema ultimo a cui rispondere è : come misurare l'altezza di una torre?

Viene fornita la scheda S3 ed S4 reperibili qui.

Durata 2 ore circa

SCHEDA S3

LABORATORIO DI GONIOMETRIA
COGNOME E NOME:

Ritorniamo al problema della determinazione dell'altezza della torre.

Utilizzando le conoscenze finora acquisite e servendoti di libri e di internet, come poter misurare l'altezza di una torre senza raggiungerla?Spiega

LABORATORIO DI GONIOMETRIA
COGNOME E NOME:

Vi suggerisco un metodo per la misura.

Considera la seguente figura

SCHEDA S4 

Strumenti: filo di cotone, puntatore , laser , goniometro

Poniti nella posizione C1 e determina con un puntatore, l’angolo a (per uja buona misura conviene puntare un binocolo o cannocchiale in maniera tale che esso sia allineato con C1 ed A.

Analogamente spostati in C2 (e determina di quanto ti sei spostato C1C2) e determina l’angolo b.

Nel nostro problema l’incognita è AB, possiamo scrivere AB/C1B=tga   e AB/(BC1+C2C1)=tga

Con un po’ di calcolo è facile giungere alla seguente formula che ci permette di trovare AB in relazione agli angolo a , b ed allo spostamento C2C1 (METODO DI TRIANGOLAZIONE)

Ovviamente si capisce come la precisione della misura è tanto più buona quanto più tga e tgb sono siversi, ovvero quando la base C1C2 è grande rispetto ad AB.

Al variare di a , b e C1C2 determina almeno tre misurazioni di AB

Confronta i risultati ottenuti con la misura di AB ottenuta con un righello. Commenta i risultati e discuti la bontà del metodo.

Misurazione in esterno di un edificio o montagna o torre.

Spiega lo schema e riporta i risultati

Commento alla scheda S3

I ragazzi formalizzano con il metodo di misura della triangolazione. Gli viene fornito un metodo operativo per la misura dell'altezza. resta solo da costruire lo strumento. Gli si chiede di portare a scuola il materiale (di fatto ho costruito in classe lo strumento). Abbiamo misurato poi l'altezza di una collina vicino la scuola. Curiosi? La prossima settimana leggerete tutto sulla terza ed ultima parte.

Per suggerimenti, segnalazioni di errori, per testare questa attività scrivetemi ad Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. È necessario abilitare JavaScript per vederlo.