Buongiorno,
quella che sto per raccontarvi, è il frutto di un lungo lavoro svolto con gli studenti della mia classe.
Tutto ha inizio quando mi imbatto nel recente lavoro di Capone et al. [1].
In questo lavoro viene discusso il calcolo delle resistenze equivalenti tra due nodi, quando le stesse resistenze sono in particolari configurazioni di simmetrie.
Nell'articolo E’ bellissimo osservare la configurazione geometriche di resistenze disposte come solidi platonici.
Una parte dell’articolo però mi convince ad affrontare in classe il lavoro che segue.
Viene discusso in particolare il seguente problema (presente sul libro Halliday Resnick Walker, edizione Scuole Secondarie di II grado, che posseggo gelosamente da9 anni ed acquistato a Portalba a Napoli, in periodo di SSIS).
La configurazione è costituita da una serie infinita di una stessa configurazione base:
E’ facile vedere che le resistenze equivalenti seguono la seguente successione:
Strabuzzo gli occhi e penso: non ci posso credere, la successione di Fibonacci!!!
Il rapporto tra numeratore e denominatore segue la successione di Fibonacci.
Cos’è la successione di Fibonacci?
Spiegato in maniera semplice, è una successione di numeri dove ogni elemento è la somma dei suoi due termini precedenti (i primi due termini sono 1 ed 1).
Supponiamo di avere una coppia di conigli (maschio e femmina). I conigli sono in grado di riprodursi all'età di un mese per cui alla fine del suo secondo mese una femmina può produrre un'altra coppia di conigli. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai e che la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschio ed una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi. Il problema posto da Fibonacci fu: quante coppie ci saranno dopo un anno?
Fibonacci è arrivato a questa successione partendo da questo problema, la storia , però, ha restituito ad essa una importanza che va oltre le coincidenze.
Fin qui sembra solo un giochino matematico eppure è facile verificare che il rapporto tra un termine generico della successione ed il suo precedente si avvicina ad un numero fissato ...
Incasinati?
Conviene fermarci un po’ e cercare di capire meglio cos’è la sezione aurea [2]
La sezione aurea Φ o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurativee della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionaletra la minore e la somma delle due.
Il rapporto è un numero ben definito, che ha alcune proprietà affascinanti:
- è irrazionale
- il suo quadrato ha come numeri decimali gli stessi numero del numero di partenza
La media aurea non è affatto banale
Tutt'altra cosa che un comune irrazionale.
Capovolta, pensate un po',
Resta se stessa meno l'unità.
Se poi di uno la aumentate
Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.
Fin qui sembrano pure coincidenze ed invece….
Invece troviamo che la sezione aurea ricorre in tantissimi fenomeni naturali
In geometria moltissimi poligoni sono aurei, ovvero la sezione aurea viene fuori dal rapporto tra alcune loro grandezze
La sezione aurea la ritroviamo in un particolare frattale (l’albero di Barsnley) [3]
Nell’arte e nell’architettura [4]
Persino il logo della Apple e fatto da tanti cerchi i cui raggi seguono la successione di Fibonacci e quindi tendono al numero aureo.
In musica la sezione aurea interviene in molte composizioni o strumenti musicali.
Nella composizione per pianoforteReflets dans l'eau, contenuta nella serie intitolataImages, la prima ripresa del rondò arriva dopo 34 battute, che designano il punto di sezione aurea tra l'inizio del brano e la sua parte culminante a partire dalla 55esima battuta.[5]
https://www.youtube.com/watch?v=lJDlqCX8Qrk
Insomma potremmo parlare per ore della sezione aurea……e di come essa appare in natura, per questioni che vadano oltre una semplice coincidenza di proporzionalità ed invito il lettore ad approfondire la tematica.
Forte di tutto questo, mi sono deciso ad affrontare la magia numerica della successione di Fibonacci e della sezione aurea , in classe.
Il lavoro che presento è\ frutto di attività fatte con alunni dalle classi 1 e seconda.
Riassiumo l’attività nel modo seguente
Fase 1
Introduzione alla successione di Fibonacci e sue proprietà.
Algoritmo di Fibonacci
Fase 2 (flipped)
Successione di Fibonacci in natura
Fase 3
Sezione aurea e numero aureo, con proporzioni e poi equazione di secondo grado
Legame tra Fibonacci e numero aureo
Fase 4 (flipped)
Sezione aurea in arte, musica etc.
Fase 5
Lavoretti con Scratch sulla sezione aurea
La metodologia seguita è un misto tra IBSE e PBL , ma fortemente cooperativa in tutte le fasi delle attività.
Per non appesantire il discorso vi propongo i lavori svolti con i miei studenti, che ho leggermente modificato, per migliorarne la grafica
Prima di iniziare, però , volevo ringraziare la collega Tullia Urschitz che mi ha fornito il materiale della bibliografia [6] e [7], oltre ad interessanti spunti di cui parlerò sul finale dell’articolo
Fibonacci
https://scratch.mit.edu/projects/93537176/
In questa simulazione vengono generati i primi n numeri di Fibonacci (a scelta dell’utente) e se il termine n-simo della successione è un numero pari ai petali di un fiore che esiste in natura, esso viene visualizzato.
Si noti che la maggiore difficoltà è stata la creazione dell’algoritmo stesso (valido da i=3 in poi).
Fibonacci ed il numero aureo
Il rapporto tra i-simo temine e il termine i-1 della successione di Fibonacci per i tendente ad infinito è il numero aureo.
https://scratch.mit.edu/projects/93598183/
La simulazione è da implementare. Mi piacerebbe creare un grafico che descrive l’approssimazione del numero aureo al variuare di i (ma la lascio al lettore)
Fibonacci e la musica
https://scratch.mit.edu/projects/93539974/
Un omaggio alla musica,i miei studenti hanno generato delle note, con intensità (come appare da Scratch) pari alla successionedi Fibonacci
La spirale aurea
Viene tracciata la spirale aurea, ovvero dato un rettangolo, se ne determinano tanti altri, in rapporto aureo con il precedente (in successione di Fibonacci) e viene tracciato di volta in volta il quarto di semicerchio inscritto a tale rettangolo
https://scratch.mit.edu/projects/93600296/#editor
Fibonacci e la Fillotassi
Il numero dei petali di un fiore è molto spesso un numero di Fibonacci, per quanto questo possa variare al variare delle dimensioni e del tipo di fiore. È storicamente noto che Alan Turing fosse particolarmente intrigato dall’osservazione (che non fu lui il primo a fare) della ricorrenza dei numeri di Fibonacci nella disposizione dei pistilli sulle corolle dei girasoli. Essi sono posti lungo due insiemi di spirali che si intrecciano: in uno, queste girano in senso orario, e nell’altro in senso antiorario. Nonostante un’apparente simmetria, il numero di spirali in ciascun insieme non è mai lo stesso, ma la cosa soprendente è che comunque si tratta di numeri di Fibonacci! Più precisamente, e ancor più sorprendentemente, i due numeri corrispondenti alle quantità di spirali nei due insiemi sono due numeri di Fibonacci consecutivi![6]
https://scratch.mit.edu/projects/93601359/
Un omaggio alla natura e a Turing
Concludo l’articolo che non vuole essere esaustivo, citando la collega Tullia Urschitz che mi ha inviato il seguente materiale.
Un repository didattico su Fibonacci da Scientix
L’intervento al TEDx di ROncade della stessa Tullia, ed il suo Fibonacci con il Lego ev3
https://www.youtube.com/watch?v=rXsIoKdU7vQ&feature=youtu.be
Il codice ev3 su Fibonacci 
L'attività presentata, con i miei studenti, ha avuto molteplici scopi. Non solo parlare della bellezza della Matematica, di equazioni di secondo grado, ma anche di botanica, di algoritmi e di successioni numeriche, di limiti e frattali.
La prova si è rilevata assolutamente un esempio di "competenza autentica"
Per dirla con i miei studenti dopo questa attività:
Prof, la matematica non è difficile, è la Natura che è affascinante!
Bibliografia
[1]Capone R. et al., Reistenze e simmetrie: dalle reti infinite ai solidi platonici, LIII Congresso Nazionale AIF, Perugia, 2014
[2] https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea
[4] http://www.grafigata.com/2015/01/guida-sezione-aurea/ e http://webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/schede/aurea.pdf
[5] http://www.lucaleggi.it/blog/la-sezione-aurea-nella-musica/ e http://scienzaemusica.blogspot.it/2013/05/la-sublime-sezione-aurea.html
[6] Pisanti N., Longo G., Sapere, Agosto 2012, 31
[7] https://www.youtube.com/watch?v=2oyUCQhD2BM
 TuringPisantiLongo.pdf | [ ] |